Miara Hausdorffa

Miara Hausdorffa – rodzaj miary zewnętrznej, która przypisuje liczbę z zakresu $[0,\infty ]$ do każdego zbioru w przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ lub, bardziej ogólnie, w dowolnej przestrzeni metrycznej. Zerowymiarowa miara Hausdorffa to liczba punktów w zbiorze (jeśli jest skończony) lub $\infty$ jeśli jest nieskończony. Jednowymiarowa miara Hausdorffa zwykłej krzywej w $\mathbb {R} ^{n}$ jest równa jej długości. Podobnie, dwuwymiarowa miara Hausdorffa mierzalnego podzbioru w $\mathbb {R} ^{2}$ jest proporcjonalna do powierzchni tego zbioru. Stąd wynika, że miara Hausdorffa jest uogólnieniem wyliczenia, długości, powierzchni lub objętości. Istnieją $d$-wymiarowe miary Hausdorffa dla dowolnego $d\geqslant 0,$ które niekoniecznie jest całkowite. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa. Miary te są podstawowe w geometrycznej teorii miary. Pojawiają się one naturalnie w analizie harmonicznej lub teorii potencjału.

Definicja formalna

Niech $(X,\rho )$ będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru $U\subset X,$ niech $\mathrm {diam} \;U$ oznacza jego średnicę, to jest

$\mathrm {diam} \;U:=\sup\{\rho (x,y)|x,y\in U\},\quad \mathrm {diam} \;\emptyset :=0.$

Niech $S$ będzie dowolnym podzbiorem $X,$ a $\delta >0$ liczbą rzeczywistą. Definiuje się

$H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} \;U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\,\operatorname {diam} \;U_{i}<\delta \right\}.$

Należy zauważyć, że $H_{\delta }^{d}(S)$ zmniejsza się monotoniczne wraz z wzrostem $\delta ,$ gdyż im większe jest $\delta ,$ tym więcej zestawów zbiorów jest dozwolonych, powodując, że infimum jest mniejsze. Zatem granica $\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)$ istnieje, lecz może być nieskończona. Niech

$H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S).$

Można zauważyć, że $H^{d}(S)$ jest miarą zewnętrzną. Nazywa się ją $d$-wymiarową miarą Hausdorffa z $S.$

Według powyższej definicji zbiory pokrywające są dowolne. Jednak mogą one być otwarte lub zamknięte, a i tak wywołają taką samą miarę, mimo że przybliżenia $H_{\delta }^{d}(S)$ mogą się różnić.

Własności

Jeśli $d$ jest dodatnią liczbą całkowitą, $d$ wymiarowa miara Hausdorffa w $\mathbb {R} ^{d}$ jest przeskalowaną typową $d$-wymiarową miarą Lebesgue’a $\lambda _{d},$ która jest znormalizowana w taki sposób, że miara kostki jednostkowej $[0,1]^{d}$ wynosi 1. Istotnie, dla dowolnego zbioru borelowskiego $E$

$\lambda _{d}(E)=2^{-d}\alpha _{d}H^{d}(E),$

gdzie $\alpha _{d}$ to objętość hiperkuli jednostkowej

$\alpha _{d}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma ({\frac {d}{2}}+1)}}.$

Powyższy wzór upraszcza się do

$\lambda _{d}(E)=\beta _{d}H^{d}(E),$

gdzie $\beta _{d}$ jest objętością hiperkuli o jednostkowej średnicy.

Uwaga: spotyka się też definicje miary Hausdorffa unormowane w taki sposób aby odpowiadały one dokładnie miarom Lebesgue’a stosownie do całkowitego wymiaru $d$ przestrzeni euklidesowej.

Związek z wymiarem Hausdorffa

Jedna z kilku możliwych równoważnych definicji wymiaru Hausdorffa to

$\dim _{\mathrm {Haus} }(S)=\inf\{d\geqslant 0:H^{d}(S)=0\}=\sup \left(\{d\geqslant 0:H^{d}(S)=\infty \}\cup \{0\}\right),$

gdzie przyjmuje się

$\inf \emptyset =\infty .$

Zobacz też

• miara

Bibliografia

• Herbert Federer: Geometric Measure Theory. Springer-Verlag, 1969. ISBN 3-540-60656-4. Brak numerów stron w książce
• Edward Szpilrajn. La dimension et la mesure. „Fundamenta Mathematicae”. 28, s. 81–89, 1937. (fr.).